Paraboloid

Ovaj članak ili neki od njegovih odlomaka nije dovoljno potkrijepljen izvorima (literatura, veb-sajtovi ili drugi izvori). Ako se pravilno ne potkrijepe pouzdanim izvorima, sporne rečenice i navodi mogli bi biti izbrisani. Pomozite Wikipediji tako što ćete navesti validne izvore putem referenci te nakon toga možete ukloniti ovaj šablon.

Paraboloid je geometrijsko tijelo, njegovi rezovi ravni su dvije parabole i elipsa ili hiperbola.

Pojmom paraboloid biva označen omotač navedenog tijela.

Eliptični paraboloid je tijelo, čija baza ima eliptični oblik.

Eliptični paraboloid s vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ i ravni simetrije paralelnim s ravni ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0}$ ima jednačinu

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}+{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}}$,

gdje ${\displaystyle pq>0}$.

Rotacioni paraboloid je tijelo omeđeno prostorom, koji nastane rotacijom parabole oko njene ose i krugom, koji tvori bazu tijela.

Rotacioni paraboloid s vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ je specijalan slučaj eliptičnog parabolida, za koji vrijedi ${\displaystyle p=q}$, to znači za rotacioni paraboloid s osoom rotacije paralelnoj s osom ${\displaystyle z}$ vrijedi

${\displaystyle 2p(z-z_{0})={(x-x_{0})}^{2}+{(y-y_{0})}^{2}}$.

Volumen rotacionog paraboloida je

${\displaystyle V={\frac {1}{2}}\pi \rho ^{2}h}$,

gdje ${\displaystyle \rho }$ je poluprečnik kružne baze i ${\displaystyle h}$ je visina paraboloida.

Osim eliptičnog postoji i hiperbolički paraboloid.

Hyperbolický paraboloid s vrhom u tački ${\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}$ i ravni simetrije paralelne s ravni ${\displaystyle x=0}$ i ${\displaystyle y=0}$ ima jednačinu

${\displaystyle z-z_{0}={\frac {{(x-x_{0})}^{2}}{2p}}-{\frac {{(y-y_{0})}^{2}}{2q}}}$,

gdje ${\displaystyle pq>0}$.

U oblasti hiperboličkog parabolida postoje dva sistema pravih, pri čemu svaka prava jednog sistema presijeca svaku pravu drugog sistema, ili proizvoljne dvije prave jednog sistema su mimoilazne. Za paraboloid se centrom u tački ${\displaystyle [0,0,0]}$ mogu se oba sistema pravih zapisati kao

${\displaystyle k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z}$

${\displaystyle k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}}$

${\displaystyle k_{1}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}-{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)={\frac {p}{|p|}}k_{2}z}$

${\displaystyle k_{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2|p|}}}+{\frac {y}{\sqrt {2|q|}}}\right)=k_{1}}$

• Parabola

• Paraboloid na Wikimedia Commonsu